C permite aprender como as coisas funcionam de verdade, ver como é o concreto. Permite fazer como realmente acontece no computador.

C será só ferramenta para aprendizado, não é para dominar a linguagem, a não ser que ela goste tanto que resolva trabalhar com isso. Depois deve partir para a linguagem que quiser.

C sempre agregará na vida profissional de todo mundo, mesmo que ela não use o que aprendeu diretamente, mas fará a pessoa ser uma profissional mais completa e enxergar os problemas com outros olhos, dando melhores soluções.

Claro que não é tão simples. não é só aprender C que vai dar tudo o que precisa, mas ela permite fazer isso melhor, ela tem o que é necessário. Continuar procurando tudo sobre computação, ter atitudes de evolução completa ainda será fundamental para a pessoa se desenvolver.

1. O que o C proporciona à pessoa que está o aprendendo que o JS não proporciona?
A lista pode ser até modesta, mas alguns exemplos que podemos ter é sobre o aprendizado de ponteiros, gerenciamento de memória, processamento de compilação, ASCII e como String realmente funciona. Além de toda a profundidade do conhecimento que podem dar mais qualidades ao código. E depois que você aprende C ou Java, você é capaz de usar qualquer linguagem de programação.

2. Até que ponto ir com C? O iniciante deve se profissionalizar em C ou deve partir pra outra linguagem como o C++ ou C#?
Primeiro vc deve saber onde quer chegar, se for em Sistemas Embarcadados ou Games por exemplo, a profissionalização em C/C++ é interessante.
De qualquer forma saiba que C é aquela parte que aprendemos em algortimos, algo mais estruturado, já o C++ é uma evolução da Linguagem C para trabalhar com o paradigma orientado a objetos, é "quase" uma continuidade, ou seja podemos trabalhar com classes em C++. Já o C# é uma linguagem interpretada desenvolvida pela Microsoft com objetivos próprios.

Comecei com JS e agora trabalho com TS, é interessante ainda aprender uma linguagem como C para aprender e praticar novos conceitos em programação?
Eu também comecei com JS, mas depois que aprendi C minha mente explodiu, muitos gaps foram preenchidos e senti que realmente tava aprendendo e me tornando "poderoso com programação". Hoje estou priorizando Java. Então depende aonde você quer chegar pra responder a sua pergunta.

Caso queira dar uma olhada em C, eu gostei muito dessa playlist, o canal é bem pequeno, mas a qualidade é muito boa: https://www.youtube.com/playlist?list=PLyFQM6ckWX3qlp9ZMf2AgJEkk1YsQ9Bs0