1. O que o C proporciona à pessoa que está o aprendendo que o JS não proporciona?
A lista pode ser até modesta, mas alguns exemplos que podemos ter é sobre o aprendizado de ponteiros, gerenciamento de memória, processamento de compilação, ASCII e como String realmente funciona. Além de toda a profundidade do conhecimento que podem dar mais qualidades ao código. E depois que você aprende C ou Java, você é capaz de usar qualquer linguagem de programação.

2. Até que ponto ir com C? O iniciante deve se profissionalizar em C ou deve partir pra outra linguagem como o C++ ou C#?
Primeiro vc deve saber onde quer chegar, se for em Sistemas Embarcadados ou Games por exemplo, a profissionalização em C/C++ é interessante.
De qualquer forma saiba que C é aquela parte que aprendemos em algortimos, algo mais estruturado, já o C++ é uma evolução da Linguagem C para trabalhar com o paradigma orientado a objetos, é "quase" uma continuidade, ou seja podemos trabalhar com classes em C++. Já o C# é uma linguagem interpretada desenvolvida pela Microsoft com objetivos próprios.

Comecei com JS e agora trabalho com TS, é interessante ainda aprender uma linguagem como C para aprender e praticar novos conceitos em programação?
Eu também comecei com JS, mas depois que aprendi C minha mente explodiu, muitos gaps foram preenchidos e senti que realmente tava aprendendo e me tornando "poderoso com programação". Hoje estou priorizando Java. Então depende aonde você quer chegar pra responder a sua pergunta.

Caso queira dar uma olhada em C, eu gostei muito dessa playlist, o canal é bem pequeno, mas a qualidade é muito boa: https://www.youtube.com/playlist?list=PLyFQM6ckWX3qlp9ZMf2AgJEkk1YsQ9Bs0