Como é feito o acesso ao banco de dados? Faz as consultas no próprio banco?

Normalmente, o analista tem acesso usando um SGBD para desenvolver as queries e a partir delas pode-se gerar relatórios de forma estruturada, ou seja, esse tipo de banco guarda dados estruturados, chamado de banco relacional que permite visualizar dados, salvar como csv, e entre outras maneiras de manipulação.

Existe um banco e você copia para a sua máquina? Temos uma chave de acesso? Como funciona?

Depende! Se for um banco convencional, pode sim gerar relatórios ou dados brutos e tratá-los num Power BI, por exemplo. Mas pode ser que você tenha acesso aos dados através de repositórios, estes repositórios são armazenados arquivos de dados datasets para serem consumidos pelos analistas, então, nos dois casos, pode-se copiar para sua máquina e fazer seus tratamentos.
Existe uma questão de integridade de dados onde o usuário pode apenas ler, mas não alterar, nesses casos, o analista tem acesso somente de leitura num banco relacional ou num repositório, nos dois casos, pode-se apenas usar conexões através de uma credencial com suas devidas permissões para poder gerar seus relatórios, e etc.
Se na empresa existe um DBA, ele lhe dará acesso e vai gerenciar suas permissões, mas se não existir um, vai ter outras pessoas que são responsáveis, seja a segurança da informação ou teu chefe. De qualquer maneira, o SQL é apenas a ponta do iceberg no mar da Ciência de Dados.