Tem várias formas de fazer isso. Eu faria assim:

1 - Instalar o NodeJS
2 - Instalar o PM2 para manter a API ativa e fornecer dados de status
3 - Enviar e inicializar a API.

Com isso, já dá um caminho para você pesquisar na internet.
Se precisar de um passo-a-passo mais direto, me procure em billrocha.com

Existem diversas formas de fazer o deploy, desde a mais manual até completamente automática.

No caso você tem um servidor Ubuntu e acesso a máquina via ssh.

Pense nas seguintes tarefas:

Configurar o ambiente

O ambiente do servidor deve se assemelhar ao ambiente de desenvolvimento, mesmas versões do node e demais ferramentas utilizadas.

Desta forma você evita o famoso "mas na minha máquina funciona".

Para isso, nada mais "lindo" do que um container Docker e (opcionalmente) um docker-composer para comandar diversos containers.

Isso (docker) é opcional, mas se você quer amadurecer essa infraestrutura, pense nisso.

Entregar o codigo ao servidor

Você precisa de alguma forma chegar com o codigo no servidor, e ter uma forma de fazer isso sempre que lançar uma nov versão.

Existem algumas formas usuais:

• Clona o repositorio git no servidor (use uma chave ssh exclusiva com permissão apenas para pull)
• Sobe os arquivos via scp (um ftp via ssh)
• Faz o download via curl ou wget do teu repositorio de algum canto da internet.

Para auxiliar nesse processo, você pode ter scripts bash que façam esse trabalho braçal, e ao lançar uma nova versão voce só rode ./release.sh por exemplo.

Também pode usar um webhook do github para chamar um endpoint da sua api responsável por chamar o script de release (um CI simplificado) Nota: sempre proteja esse endpoint com uma chave secreta.

Monitorar o funcionamento da API

Existem ferramentas para forçar sua API a inicializar automaticamente, e reiniciar em caso de falhas. Por exemplo o PM2.

Quando você está em produção, é muito importante gerar LOGs de todos os eventos relevantes, e se possível ter uma ferramenta para monitorar esses logs, e eventualmente lhe alertar de alguns eventos chave (por exemplo quando o servidor for reiniciado por causa de uma falha)

Como já foi dito, você pode usar o PM2 pra isso. Pode instalar ele globalmente no servidor com o gerenciador de pacotes que preferir, abaixo tem um guia oficial:

https://pm2.io/docs/runtime/guide/installation/

No package.json do seu projeto, você pode criar um script pra subir o servidor pelo pm2, por exemplo:

"scripts": { "start": "pm2 start src/index.js" },

depois basta rodar o script acima usando o seu gerenciador de pacotes na raíz do projeto, por exemplo "yarn run start", "npm start" etc.

O PM2 vai te mostrar umas informações do servidor rodando. Sempre que você acessar esse servidor pode usar alguns comandos pra verificar e interagir com a sua aplicação, por exemplo:

"pm2 list" vai listar a lista de projetos e o estado deles.

"pm2 logs" te mostra os logs, o output da aplicação, então se tiver algum console.log nela por exemplo, será impresso aí. Você pode dar um "pm2 logs --lines 200" por exemplo pra imprimir as últimas 200 linhas do output.

"pm2 start", "pm2 restart", "pm2 stop", pra mudar o status da aplicação. Você precisa informar o "id" da aplicação (que aparece no "pm2 list") pra poder interagir, por exemplo "pm2 start 2" irá iniciar a aplicação 2 e por aí vai. Você também pode interagir com todos usando a flag all, por exemplo "pm2 stop all" para parar todas as aplicações.

Depois que estiver tudo certo, pode usar um "pm2 save" pro PM2 salvar as suas preferências e guardar as suas aplicações pra subirem junto com o servidor caso ele seja reiniciado, tenha falta de energia etc. Assim você não precisa subir todos depois se alguma dessas situações ocorrerem.

"pm2 flush" limpa o output/console.

E por aí vai... É um gerenciador muito útil o PM2, dê uma pesquisada a respeito porque ele é leve, prático e tem bastante função.

Não se esqueça de sempre copiar o projeto sem a pasta node_modules pro servidor caso você for copiar "na mão", e instalar as dependências (npm install, por exemplo) localmente no servidor, porque as dependências variam do ambiente em que são instaladas.

Recomendo também instalar o "nvm" no servidor pra você poder lidar mais facilmente com versões diferentes do Node.js