O que é uma derivada? (Matemática)

Velocidade Média

é um conceito compreendido pela maioria das pessoas. No ensino médio aprendemos que velocidade média é a divisão da distância percorrida pelo tempo de deslocamento.

ds/dt

• ds: Variação de distância
• dt: Variação de tempo

No entanto,

percebemos que o caminho que o objeto em movimento fez, ou a velocidade dele no meio do percurso, pouco importa para o final do resultado. Tudo que descrevemos com essa medida é:

Se ele tivesse ido do ponto inicial ao ponto final em uma linha reta em velocidade constante. Que velocidade sería essa?

Ok,

mas e se eu quisesse saber se o objeto manteve sua velocidade no percurso inteiro?

Poderiamos

analisar se o objeto se moveu constantemente na mesma direção em todos os pontos.

Ou seja

podemos delimitar trechos de tempo muito pequenos e medir a distância percorrida nesses trechos. Daí pegamos a velocidade média nesses subtrechos.
Se a velocidade média de pelo menos um desses subtrechos for menor ou maior do que a do percurso inicial. Então a velocidade não é constante.

Mas e se

a velocidade variar dentro desses subtrechos mas no final a média do subtrecho for a mesma do percurso inteiro.
Podemos repetir o processo para cada subtrecho com tempos ainda menores. Por exemplo, variações de tempo muito próximas de zero.

Velocidade Instantânea

é basicamente essa velocidade média medida de um trecho cujo tempo é tão próximo de zero, que pode ser aproximado à zero. Ou seja, a velocidade do objeto em um único ponto do espaço e não em um movimento extenso.

E se extrapolasse isso

para outras medidas de variação de um item em função do outro?

Por exemplo potência em flops de um processador em função de resistores no seu interior.

Podemos pegar o crescimento médio de potência em função da quantidade de resistores.

Mas e se fizessemos o mesmo processo e pegassemos o crescimento pontual para cada resistor que adicionamos.

Ou seja,

d/dx

• d: variação de potência no trecho
• dx: Variação de resistores no trecho

Então é possível derivar a ideia de crescimento pontual para várias funções.

Ou seja, uma...

Derivada.

Aliás, esse ponto único ao qual eu estava me referindo. O termo técnico para ele é Limite. Você está definindo um Limite de medida muito próximo de zero para calcular a variação naquele ponto.

Notas

Claro que o conceito de derivada é muito mais extenso que isso. Você consegue tratar derivadas como funções por si só dada a lei da função que você está derivando.

O conceito de limite também é bem mais profundo e extenso que isso.

Mas de maneira mais intuitiva e inicial, essa é uma descrição razoável de derivada e limite.

Aliás, eu adoraria se corrigissem algo que foi dito, críticas construtivas são sempre bem vindas, e adicionar mais ideias ao texto é sempre bom.

Sou aluno de Ciências Matemáticas na UFRJ e estou estudando cálculo I agora. Então essa é a visão inicial que estou desenvolvendo desses conceitos matemáticos. Ainda vou aprofundar bastante essa visão. Contudo, até então, essa abstração está funcionando.