Se eu tivesse apenas que responder a pergunta feita no título seria: Não, você não precisa. Tanto é que existem muitos profissionais que não possuem uma formação superior e são desenvolvedores. O problema é que não possuir o curso superior pode implicar limitações, como trabalhar em um grande player do mercado, ou trabalhar para uma empresa do exterior, onde na maioria das vezes, é exigido.

Porém mais do que essas limitações, acredito que fazer uma faculdade não irá te transformar em um programador, pois esse não é o foco dela. Claro que depende do curso e da instituição, mas geralmente a faculdade tem a intenção de te dar uma visão geral sobre tecnologia. Nos primeiros semestres provavelmente você irá "escovar bits", ou seja, entender o funcionamento do computador no mais baixo nível, e isso vai evoluindo com o passar do tempo, até abordar coisas como gestão, redes, etc.

Resumindo: A faculdade te dará uma boa visão do que ocorre por de baixo dos panos, o que facilitará muito o seu aprendizado em programação. Um combo de faculdade, fazendo um estágio, com um curso online focado em programação é muito interessante. Mas é uma opinião minha.