Recentemente tenho visto como o conhecimento na área da matemática tem sido deixado de lado. Principalmente por vendedores de curso que colocam isso como algo secundário, até mesmo para áreas como dados e machine learning, em alguns casos. A verdade é que falar para iniciantes que o conhecimento em matemática é essencial está quase virando um crime, por isso há algun tempo eu escrevi um post tratando sobre esse assunto e colocando alguns exemplos simples do porquê o conhecimento sólido na matemática é importante na programação. Nesse post vou tratar sobre alguns tópicos básicos da matemática, contextualizando sobre alguns assuntos comuns.

Sumário

Definição formal de Matemática
1.1 Diferentes áreas de estudo na matemática
1.2 Axiomas, proposições, teoremas, corolários e lemas
1.3 Tipos de prova
Princípios da lógica matemática
2.1 Conectivos Lógicos
2.2 Valor verdade e tabela verdade
2.3 Negações
Teoria de conjuntos
3.1 Definição
3.2 Conjunto Universo e Conjunto Vazio
3.3 Operações Básicas de conjuntos
3.4 Álgebra de conjuntos
3.5 Relações entre conjuntos
Números naturais
4.1 Axiomas de Peano
4.2 Construção dos números naturais
4.3 Indução Matemática
Referências

Definição formal de Matemática

Todos nós já estudamos matemática em algum momento da vida, contudo a maioria de nós nunca foi exposto a uma definição formal do que é matemática. Muitos acreditam que é a ciência que estuda os números e suas relações, embora isso não seja completamente errado, é uma definição muito inxuta e incompleta para matemática.

O trabalho de definir matemática está mais ligado à filosofia do que à matemática em si, portanto, naturalmente existiram várias discuções ao longo da história a respeito disso. Uma definição que eu particularmante gosto é a do filósofo alemão Immanuel Kant no seu livro Crítica da razão pura, onde ele cita que

A Matemática e a Física são as duas ciências teóricas, cujos objetos devem ser dados a priori, a primeira de forma completamente pura, ...

Em resumo, Kant discorre que a Matemática é sintética a priori, isto é, a matemática é uma ciência que nos fornece conhecimento certo e novo. De forma parecida também a academia de Platão enaltecia a certeza matemática, de modo a criar a tese da confiabilidade de conhecimento e, posteriormente, a metodologia axiomática, da qual se utiliza até hoje. Como ciência, a matemática é fonte de conhecimento, mas isso apenas atesta uma de suas utilidades, tornando essa então uma definição também incompleta.

Se recorrermos ao dicionário teremos a seguinte definição:

ciência que estuda, por método dedutivo, objetos abstratos (números, figuras, funções) e as relações existentes entre eles.

Essa definição se mostra mais completa no contexto do estudo da matemática. Isso pois temos um conjunto imenso a ser estudado, como números, conjuntos, formas geométricas, funções e etc. Todos esses elementos são objetos abstratos, que têm propriedades, comportamentos, relações entre si e podem ou não representar algo da vida real. Abstração está intimamente ligada ao estudo da matemática, daí outra semelhança entre matemática e computação.

Diferentes áreas de estudo na Matemática

Dentro desse conjunto de estudos, cada elemento é uma área inteira de estudos e teorias. Regras que valem em uma área não necessáriamente valerão em outra e o mesmo para relações entre essas áreas. A seguir uma lista de alguns campos de estudo dentro da matemática.

Área	Descrição
Teoria dos conjuntos	Estudo de propriedades e relações entre conjuntos
Teoria dos números	Estudo de propriedades dos números inteiros e suas relações
Estatística	Coleta, análise e interpretação de dados
Álgebra Linear	Estudo de vetores, espaços e transformações lineares
Lógica Matemática	Estudo de estruturas lógicas e provas de proposições
Topologia	Estudo de propriedades de espaços topológicos e continuidade

Cada uma das áreas citadas tem uma descrição muito enxuta, portanto incompleta e imprecisa, além de existirem inúmeras outras áreas que não foram citadas na tabela acima, caso deseje saber mais sobre essas áreas e outras, sugiro que faça uma pesquisa mais aprofundada sobre o assunto.

Axiomas, Proposições, Teoremas, corolários e Lemas

São as estruturas utilizadas para fundamentar teorias matemáticas. São a base da metodologia axiomática e portanto estruturas utilizadas em provas e demonstrações matemática. Seu entendimento é simples, mas a sua relevância é inimaginável para a matemática como um todo.

Axioma: Uma verdade assumida, que não precisa ou não pode ser provada. Normalmente é o ponto de partida de uma teoria.
Proposição: Uma afirmação que deve ser provada, pode ser verdadeira ou falsa.
Teorema: Uma proposição que, depois de provada, tem alta importância dentro de uma teoria.
Corolário: Uma consequência direta da prova de uma proposição ou teorema
Lema: Uma proposição especial que serve apenas para auxiliar na prova de um teorema

Perceba como essencialmente existem apenas duas estruturas de prova: axiomas e proposições. Contudo, de acordo com a importância e contexto de uma proposição ela pode ser chamada por novos nomes, teorema, corolário ou lema.

Em algumas literaturas também pode-se chamar axiomas de postulados, mas são apenas sinônimos. Outra estrutura que também é importante mas que prefiri não citar é a definição, que define o que é um elemento dentro da teoria e também pode ser usada como fonte de verdade para uma prova, contudo pode-se enxergar na maior parte das vezes uma definição como um axioma.

Frequentemente precisamos provar proposições e teoremas, saber estratégias de como fazer essas provas é valioso nesse contexto. Existem várias estratégias, das quais as principais são as seguintes:

Prova por dedução
Prova por indução
Prova por contradição
Prova por contra-exemplo
Prova por contraposição
Prova por construção
Prova por diagonalização

Para entender cada uma dessas provas, sugiro que leiam esse material feito pela usp.

Princípios da lógica matemática

A lógica matemática é simples inicialmente, baseada em provar proposições. Dentro da lógica matemática uma proposição pode ser vista apenas como uma expressão lógica, que tem um valor verdade. Essa área é muito abrangente e pode ser muito aprofundada, mas para o contexto da computação, seu subconjunto mais importante é a chamada lógica booleana.

Conectivos lógicos

Alguns conectivos (ou operadores) são utilizados para a construção de expressões lógicas. Alguns desses conectivos existem na maioria das linguagens de programação, então são de simples entendimento. Existem ainda mais conectivos, contudo preferi citar apenas os mais utilizados e simples.

Sejam p e q expressões lógicas quaisquer.

∨ (ou): verdadeiro se p ou q são verdadeiros
∧ (e): verdadeiro se p e q são verdadeiros
⊕ (ou exclusivo): se apenas p ou q são verdadeiros
¬ (não): verdadeiro se a expressão é falsa e falso caso contrário
→ (implicação): p implica em q
↔ (se e somente se): verdadeiro só quando p e q são iguais

valor verdade e tabela verdade

Valor verdade é o resultado de uma expressão lógica, sempre sera verdadeiro ou falso. A tabela verdade é uma forma de visualizar os possíveis valores verdade de uma expressão.

Seja p e q expressões lógicas quaisquer:

p	q	¬p	¬q	p ∨ q	p ∧ q	p ⊕ q	p → q	p ↔ q
V	V	F	F	V	V	F	V	V
V	F	F	V	V	F	V	F	F
F	V	V	F	V	F	V	V	F
F	F	V	V	F	F	F	V	V

Negações

Uma coisa que causa muita confusão no estudo de lógica são as negações. Negar uma expressão não é necessáriamente simples em alguns cenários, então é importante saber de alguns casos base para auxíliar nesse tipo de problema.

Sejam p e q expressões lógicas quaisquer

¬(p ∨ q) = p ∧ q = ¬p ∨ ¬q
¬(p ∧ q) = p ∨ q = ¬p ∧ ¬q
¬(p ⊕ q) = p ↔ q = ¬p ⊕ ¬q
¬(p → q) = ¬p → ¬q

O operador de igualdade aqui representa a relação de equivalência lógica, que significa que as proposições que apresentam a mesma tabela verdade.

Teoria de conjuntos

Essa é a área que estuda sobre conjuntos e suas propriedades. Muitos dizem que é a teoria fundamental da matemática, pois a maioria das outras áreas se baseam nela, então é de suma importância entender sobre conjuntos e suas propriedades.

O início do estudo de conjuntos se dá com o Matemático alemão Georg Cantor, no século XIX. Até o início do século XX várias contrubuíções foram feitas para a teoria, que ficou conhecida como teoria ingênua de conjuntos, pois não havia nenhuma definição formal de conjunto. Posteriormente, esses estudos culminaram no surgimento da teoria axiomática de conjuntos, que é a mais utilizada atualmente.

Definição

Conjunto é uma coleção não ordenada de elementos. Dizemos que a pertence a A e denotamos como a ∈ A se a for um elemento do conjunto A e, sua negação a ∉ A se a não for um elemento de A.

Essa é uma chamada definição empírica de conjunto, mas há também a definição axiomática da teoria de conjuntos:

Axioma da existência: Existe pelo menos um conjunto

Axioma da extensão: Dois conjuntos são iguais se, e somente se, seus elementos são os mesmos.

Axioma da especificação: Se um conjunto A existe, e conseguimos descrever (através de uma propriedade) elementos deste conjunto, então existe um conjunto B, subconjunto de A, que contém estes elementos

Axioma do par: Sejam A e B conjuntos quaisquer (que podem ser iguais). Então existe um conjunto C tal que A ∈ C e B ∈ C.

Denotamos também A ⊆ B quando A está contido em B. Perceba que, quando A ⊆ B e B ⊆ A dizemos que A e B são iguais denotando A = B.

A partir de definições empíricas, axiomas, proposições e etc. Construímos uma teoria matemática.

Conjunto universo e conjunto vazio

Existe um conjunto U, chamado conjunto universo que é o conjunto que contém todos os elementos possíveis. Esse conjunto muitas vezes está implícito, mas é importante saber a sua existência.

Existe também outro conjunto, denotado por ∅, chamado conjunto vazio, que é o conjunto que não possui nenhum elemento.

Existem algumas propriedades importantes acerca desses dois conjuntos:

Seja A um conjunto qualquer, então as seguintes afirmações são verdadeiras:

A ⊆ U
∅ ⊆ A

Operações básicas de conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e x um elemento de U.

União

Denotamos o conjunto A união com B por A ∪ B da seguinte forma:

A ∪ B := { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } (A união B é definido como o conjunto dos elementos x tais que x pertence a A ou x pertence a B)

Intersecção

Denotamos o conjunto A intersecção com B por A ∩ B da seguinte forma:

A ∩ B := { x | x ∈ A ∧ x ∈ B } (A intercecção B é definido como o conjunto dos elementos x tais que x pertence a A e x pertence a B)

Complemento

Denotamos o conjunto complemento de A por A' da seguinte forma:

A' := { x | x ∉ A } (complemento de A é definido como o conjunto dos elementos x tais que x não pertence a A)

Complemento relativo (diferença)

Denotamos o conjunto diferença entre B e A por B - A (B \ A é outra notação) da seguinte forma:

B - A := { x | x ∈ ∧ x ∉ A } (diferença entre B e A é definido como o conjunto dos elementos x tais que x pertence a B e x não pertence a A)

Álgebra de conjuntos

O seguinte teorema denota um conjunto de propriedades que é chamado de "Álgebra de conjuntos":

Seja U conjunto universo. Para qualquer A, B, C ∈ U valem as seguintes propriedades:

Idempotência → A ∩ A = A; A ∪ A = A
Comutatividade → A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A
Associatividade → (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Absorção → A ∩ (A ∪ B) = A; A ∪ (A ∩ B) = A
Distributividade → A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Complementoridade → A ∩ A' = ∅; A ∪ A' = U
Consistência → A ∩ B = A ↔ A ⊆ B; A ∪ B = B ↔ A ⊆ B

Para cada propriedade provada a partir dessas leis, então na segunta propriedade também é válida, isto é, para ∩ também vale ∪, além de para ∅ também valerá para U. Isso se chama princípio da dualidade.

Relações entre conjuntos

Pares ordenados

Denota-se por (a, b) par ordenado com componentes a e b (nessa ordem).

Veja que (b, a) ≠ (a, b) ≠ {a, b}

Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são ditos iguais se e somente se a = b e c = d. O que é diferente da igualdade entre conjuntos.

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano entre A e B, denotado por A x B é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), com a ∈ A e b ∈ B.

A x B = { (a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B }

Relação

Uma relação ρ de um conjunto A em um conjunto B é um subconjunto do produto cartesiano A x B. Dizemos que ρ é uma relação de A em B e escrevemos
(a, b) ↔ a ρ b (a está relacionado com b por ρ).

Quando A = B dizemos que ρ é uma relação em A.

Funções

Toda função é também uma relação entre dois conjuntos. Por exemplo:

f(x) = 2x é uma relação em $\mathbb{R}$ (números reais). O conjunto dessa relação é o seguinte:

f(x) = { (a, b) : b = 2a }

Usualmente funções são denotadas da seguinte forma:

f: $\mathbb{R}$ → $\mathbb{R}$ (aplicação f de $\mathbb{R}$ para $\mathbb{R}$ ).

Podemos representar graficamente uma função a partir de um plano cartesiano, por exemplo, para a função f(x) = x² temos:

Onde o "eixo" x representa o conjunto de domínio e o "eixo" y representa o conjunto de contradomínio, de forma que todos os pontos que compoẽm efetivamente o gráfico da função são os pares ordenados obtidos pela relação f(x).

Toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função, para ser considerada função é necessário que uma condição seja satisfeita:

Só pode haver no máximo um elemento do contradomínio relacionado para cada elemento do domínio

Números Naturais

Os números naturais são os primeiros que todos aprendemos. São baseados em quantidades inteiras e contagem naturais. Nessa seção iremos definir formalmente os números naturais.

Axiomas de Peano

Seja um dado conjunto $\mathbb{N}$ não vazio e uma função s: N → N chamada função sucessor:

(P1) Cada elemento de $\mathbb{N}$ tem um único sucessor nesse conjunto, sendo que elementos diferentes têm sucessores diferentes.

(P2) Existe um elemento especial de $\mathbb{N}$ que não é sucessor de elemento algum do conjunto.

Os axiomas P1 e P2 são chamados axiomas de Peano e são a base para toda a construção do conjunto dos números naturais.

Construção dos números naturais

Chamaremos o elemento definido em P2 de 1 e, usando notação usual, definimos 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3) e etc.

Operações

Soma

Dado n ∈ $\mathbb{N}$ , definimos a soma de n com 1 como o sucesor de n (ou de 1 por n):
(n + 1) := s(n); (1 + n) := s(n)

Definimos também a soma de n com 2 (s(1)) como sendo o sucessor da soma de 1:
n + 2 = 2 + n := 1 + (n + 1) = (n + 1) + 1

E assim sucessivamente definimos a soma para qualquer elemento do conjunto dos números naturais. De forma análoga, também definimos n + m para qualquer n, m ∈ $\mathbb{N}$ .

Multiplicação

Dado n ∈ $\mathbb{N}$ , definimos o produto de n com 1 como o próprio n:
n * 1 := n; 1 * n := n

Definimos também o produto de n com 2 como sendo a soma do produto de n com 1 e n:

n * 2 = 2 * n := (n * 1) + 2

E assim sucessivamente definimos o produto para qualquer elemento do conjunto dos números naturais. De forma análoga, também definimos n * m para qualquer n, m ∈ $\mathbb{N}$ .

Indução Matemática

Se x ∈ $\mathbb{N}$ for tal que a afirmação n ∈ X implica que n + 1 ∈ N é verdadeira para todo n e, se 1 ∈ X, então necessariamente X = $\mathbb{N}$ .

Essa é o chamado Princípio da Indução Matemárica e é um dos mais importantes conceitos dos números naturais que se estende para toda a matemática. Muitas conclusões importantes podem ser encontradas a partir desse princípio, então vamos ver uma delas:

Para todo n ∈ $\mathbb{N}$ , vale que:

$1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \frac{n(n+i)}{2}$ (1)

prova:

Seja X = { x ∈ $\mathbb{N}$ : (1) é verdadeiro }

$n=1→1 = \frac{1(1 + 1)}{2}=1$ ; logo 1 ∈ X
$n=2→2 = \frac{2(2 + 1)}{2}=3$ ; logo 2 ∈ X

Sabemos que n ∈ X pela hipótese, basta provarmos que n + 1 ∈ X e então iremos concluir que X = $\mathbb{N}$ , pelo Princípio da Indução Matemática.

$n = n + 1 → n + 1 = \frac{n(n+1)}{2} + 1 = \frac{2(n+1) + n(2+1)}{2} = \frac{(n+1)(2+n)}{2} = \frac{(n+1)[(n+1) + 1]}{2}$

Portanto, n + 1 ∈ X e, pelo Princípio da Indução Matemática concluímos que X = $\mathbb{N}$ e que (1) vale para todo n ∈ $\mathbb{N}$

Referências

KANT, Immanuel. 1966. Kritik der reinen Vernuft. Stuttgart: Philipp Reclam.

FOSSA, J. A. . Bertrand Russell Sobre a Matemática nos Princípios. Revista Brasileira de História da Matemática, [S. l.], v. 21, n. 42, p. 329–349, 2021. DOI: 10.47976/RBHM2021v21n42329-349. Disponível em: https://www.rbhm.org.br/index.php/RBHM/article/view/365. Acesso em: 22 out. 2023.

Tipos de provas. Disponível em: http://wiki.icmc.usp.br/images/7/72/Tiposdeprova.pdf. Acesso em: 22 out. 2023

TRIGO, Thiago. Negação de Proposições Compostas. Disponível em: https://www.infoescola.com/matematica/negacao-de-proposicoes-compostas. Acesso em: 22 out. 2023

GPT, chat. 2023. Serviu para nada. Disponível em: https://chat.openai.com. Acesso em: 22 out. 2023

CARIELO, Marcelo Santos. 2012. Introdução à teoria ingênua dos conjuntos parte 1. Disponível em: https://www.ime.unicamp.br/~mac/db/2012-1S-082125.pdf. Acesso em: 22 out. 2023

Doering, Claus Ivo. Introdução à Análise Matemática na Reta. Rio de Janeiro: SBM, 2015. ISBN 9788583370352.

Introdução à Matemática formal