Deploy de aplicação em NextJS e API: Dúvida sobre como fazer!

Olhando pelo código por cima, aparentemente não há nenhum estado persistente na api em si, mas no banco de dados, no entando, percebi que você está usando o SQLite, que é um banco de dados que fica em um arquivo.

Como a vercel utiliza a arquitetura serverless, isso faz com que a sua aplicação seja recomeçada para o estado inicial toda vez que nenhuma request é enviada durante um tempo, a fim de preservar recursos computacionais.

isso faz com que qualquer estado salvo no código, ou em um arquivo (como no caso do SQLite) seja perdido quando em 30/40 minutos nenhuma request é feita à API (recomendo pesquisar sobre a arquitetura serverless).

para resolver isso, recomendo alterar o banco de dados para um MySQL ou Postgres e usar serviços de hospedagem de banco de dados como o PlanetScale (que possuí um free-tier que dá um banco MySQL gratuitamente), é possível fazer isso simplesmente mudando as configurações do prisma.

// antes
datasource db {
  provider = "sqlite"
  url      = env("DATABASE_URL")
}
// depois
datasource db {
  provider = "mysql"
  url      = env("DATABASE_URL") // mudar a URL do banco de dados para o endereço do MySQL
}

uma vez isso feito, é possível fazer deploy da sua aplicação na Vercel sem problemas, o próprio fastify tem um tópico na documentação falando sobre isso.

Caso queria continuar utilizando o SQLite, recomendo outras plataformas de deploy que não utilizam a arquitetura serverless, como o fly.io ou o render

Cara dei uma olhada aqui, e porque você não tenta integrar a tua API junto do Next? Ai já faria o deploy na própia Vercel mesmo