Poderia explicar-me como é que isto funciona?

Headers: tenta imaginar que a sua requisição é uma atividade da escola, no caso o header é o cabeçalho que você faz no começo da atividade, necessariamente ela não faz parte do corpo da requisição mas ainda sim é importante. leia mais
Exemplo:

fetch('https://api.github.com/users/manishmshiva', {
  method: "GET",
  headers: {"Content-type": "application/json;charset=UTF-8"}
})
.then(response => response.json()) 
.then(json => console.log(json)); 
.catch(err => console.log(err));

JSON.stringify: ele é usando para converter um objeto em string, no outro lado que vai receber a requisição ele tem que usar o JSON.parse para pegar a string e converter em objeto denovo, o porquê fazer isso eu não lembro, até porque eu uso o axios e ele já faz isso por de baixo dos panos, sem ter que ficar convertendo o tempo todo.

Axios vs fetch e request: resumindo eu recomendo você a aprender o axios porque ele é basicamente uma versão melhorada dos outros dois. leia mais

caso tem algo que eu falei errado me fale, e eu também ainda não tenho conhecimento sobre proxy por isso eu não coloquei 👍

JSON.stringify (Normalmente usam para fazer login, mas em outros casos não precisa por quê?)

Bom, basicamente "JSON" é um objeto nativo do JavaScript com vários métodos que podem ser usados em um JSON.

O método em especifico ".stringify" faz com que você converta um JSON para uma string em formato JSON.

Entendendo isso, para vc saber pq precisa em alguns casos você deve observar, talvez pode ser porque tal método/parâmetro não aceite o formato JSON puro, e nesses casos o JSON.stringify torna ele uma string, facilitando a entrada... e talvez quando esse método/parâmetro recebe essa string, ele converte ela de novo para JSON puro para que possa ser usada la dentro, ou também pode ser usado somente para mostrar esse JSON em um HTML com mais facilidade... Existem vários casos de uso, o importante é entender como esse método funciona e você automaticamente vai entender quando deve usar/porque foi usado/porque não foi usado.

Proxy (Em alguns casos, usá-lo para quê?)

Sobre proxy em muito casos é utilizado quando você tem que fazer login com várias contas ou apenas para manter secreto o seu IP, também pode ser porque existe um ratelimit de requisição por IP, então por exemplo: desejo baixar toda imagem de um site, mas ele só permite baixar 1 img por IP a cada 10sg. Se caso existir muitas imagens e você não quer que seja um processo demorado, você pode usar proxy para fazer download de tudo em pouco tempo.

Dá uma olhada nesse post daqui do Tabnews mesmo: Desenvolvimento Web - Protocolo HTTP 💻📡🕸🌎. Ele fala sobre o protocolo HTTP, que é a base para se entender como uma API funciona.

Os métodos axios, fetch e request têm alguma diferença ao usar para extrair os dados?

Em ordem:

fetch: É um método nativo do JavaScript onde você pode fazer requisições HTTP. Por exemplo:

fetch('https://api.url.com')

request: É um objeto nativo do JavaScript onde você pode instanciar e estruturar melhor uma requisição fornecendo talvez o método, parametros, etc. Geralmente se usa ele junto com o fetch:

const myRequest = new Request('http://localhost/api', {method: 'POST', body: '{"foo":"bar"}'});

fetch(myRequest)

axios: É uma biblioteca construida em cima desses dois métodos, com métodos que facilitam para o desenvolvedor fazer suas requisições. Entendendo esses dois métodos nativos recomendo que você estude o axios e use ele na maioria dos casos.

Meu conselho é você voltar um pouco e aprender mais sobre o Protocolo HTTP

HTTP é um protocolo, uma forma de conversa entre duas máquinas, que permite transferir hiper-texto de um lado a outro.

Entender bem o protocolo HTTP pode te ajudar a desenvolver melhores aplicações web e a debugá-las quando as coisas derem errado.

Cabeçalhos HTTP

Os cabeçalhos HTTP permitem que o cliente e o servidor passem informações adicionais com a solicitação ou a resposta HTTP. Um cabeçalho de solicitação é composto por seu nome case-insensitive (não diferencia letras maiúsculas e minúsculas), seguido por dois pontos ':' e pelo seu valor (sem quebras de linha). Espaços em branco antes do valor serão ignorados.