Em meu primeiro ano de carreira passei pela mesma situação que você, tinha feito diversos testes e tive retorno de apenas um, que claro aceitei sem exitar. Meses após ter iniciado meu trabalho nessa empresa, ainda em tempo de experiencia pra ser mais exato, um dos testes que tinha feito deu positivo e a empresa "concorrente" ofereceu exatamente 3x o salario que estava recebendo. Aceitei de cara, afinal 3x era muita coisa pra alguém que estava apenas começando.

Igual ao que aconteceu com você tive uma conversa com o meu lider, e o mesmo me cobriu e aumentou a oferta do concorrente. Acabei que ficando na mesma empresa.

Anos após isso, permanecendo com a mesma remuneração, outra empresa me procurou por meio de conhecidos que tive contato em alguns projetos e me ofereceram um salario 2x ao que estava ganhando no momento. Lembrando do ocorrido com o primeiro concorrente, fui até meu lider e expliquei a situação e que a promoção seria excelente pois seria uma grana para me ajustar na vida. O mesmo novamente "cobriu" a oferta, entretanto, dessa vez não fui muito bem sucedido.

Primeiro mês tudo ótimo, segundo mês recebi atrasado mas 3 dias não iriam me atrapalhar em tanta coisa, a empresa era pequena e tinham demitido a pessoa que cuidava disso.
Segundo mês 10 dias de atraso, e Terceiro mês 20 dias de atraso. Decidi investigar, a empresa teve diversas demissões e saidas de funcionarios e estava sem caixa para cobrir minha oferta mas em nenhum momento foram sinceros em dizer que não aguentariam me remunerar da forma combinada.

Infelizmente por ter recusado a oferta da concorrente, fechei a porta para mim mesmo. Mas felizmente ainda tinha alguns contatos e antes que o quarto mês fechasse consegui outra vaga a qual estou hoje a mais de 2anos.

Nem sempre aceitar uma contra-proposta é ruim, mas não garante que será boa, da primeira vez mudou minha vida, ja na segunda... Avalie o momento da empresa, como você se sente nessa empresa desconsiderando o salário, qual a qualidade de vida que a nova/velha empresa podem te oferecer.