Pré-Cálculo | Parte 1

"The truth shall make you free" - Caltech's motto

Depois do Pré-Cálculo, vem o Cálculo I, certo?

Gostaria de complementar o assunto, sugerindo uma série de 52 episódios (original em Inglês e dublada em Português) do curso de Física do Instituto de Tecnologia da Califórnia (Caltech), onde o Prof. David Goodstein (*05/04/1939 - †10/04/2024) apresenta os conceitos de Cálculo I logo nos 7 primeiros episódios da série* Universo Mecânico. De forma didática, relaciona alguns dos fenômenos físicos às equações que procuram melhor representá-los e como essas equações são então aplicadas na análise de fenômenos semelhantes.

Ao longo do tempo, os cientistas observaram que ferramentas matemáticas mais adequadas eram necessárias para então descrever os fenômenos naturais que pesquisavam avaliando suas taxas de variação. Os conceitos de limite, derivada e integral começam então a surgir, estabelecidos nesse universo de "pequenos passos". Por exemplo, já tentou calcular o comprimento de um arco de circunferência? Simples, não é? Aquela equaçãozinha (C = 2 \pi \alpha), com (\alpha) em radianos representando o ângulo de abertura do arco, tem Cálculo para prová-la que é exata. E como estimar o comprimento de um arco de elipse ou seu valor exato? Bom, essas são somente algumas das diferentes perguntas que o Cálculo torna-se útil para fundamentar uma solução.

Antes de debruçar-se sobre várias folhas de teoria do seu livro texto e exemplos específicos por área, vale a pena conferir a série introdutória sugerida. Ao final de um curso completo (Pré-Calculo, Calculo I, II e além), o interessado vai então vislumbrar como o Cálculo, num todo, está presente no seu dia a dia. Para quem está iniciando na área, não o veja como um bicho de sete cabeças. Veja o Cálculo como um conceito que, por um tempo, está fora de entendimento por simplesmente não conhecê-lo, porém passível de ser entendido por meio de resolução de problemas práticos, recorrendo à teoria para entender o porque.

A forma de ensino de "raras escolas" é primeiro mostrar a teoria (abstrata) seguida então de exemplos práticos. Contudo, avaliar um problema primeiro e então buscar as ferramentas mais adequadas para resolvê-lo parece já ser um consenso utilizado por escolas técnico-profissionalizantes. Ou seja, a teoria vem para ajudar e não para dar o trabalho. Desta forma, você consolida melhor o aprendizado de algo novo, pois ela (a teoria) surgiu como sua aliada para ajudar a resolver um problema que estava complicado com as ferramentas que até então tentou aplicar. Perceba como um mecânico trabalha: ele recebe uma engenhoca quebrada, analisa a situação, faz anotações e planejamento necessários e depois, recorrendo às ferramentas certas, passa a consertá-la. Posteriormente afere o resultado contra padrões de qualidade pré-estabelecidos. Se atender, ótimo, serviço finalizado! Se não atender, reavalia o que errou e corrige. Estas correções às vezes se dão também como melhorias, atualizações sobre o processo de manutenção. A ciência como um todo, procura estruturar o conhecimento de maneira que possa generalizá-lo para solução de problemas de mesma natureza.

A série de 52 episódios "Universo Mecânico", cujos conceitos científicos permanecem atuais até hoje, foi produzida na década de 80 pelo Instituto de Tecnologia da Califórnia (CalTech), (dublada) e transmitida no Brasil pela TV Cultura (de São Paulo). Diferentemente das outras versoes dubladas em Português, os vídeos dessa PlayList (mantém) a mesma resolução da produção original americana (640x480p), obtendo-se com isso um ganho na qualidade do vídeo. O áudio permaneceu inalterado. Todos os créditos (encontram-se listados) no final de cada episódio. Fonte: Adaptado a partir do texto constante na descrição do canal.

Fonte: https://imgs.xkcd.com/comics/newton_and_leibniz.png

Sempre gostei das aulas de cálculo na faculdade, achava super interessante aprender a fazer aquelas contas doidas de deriviada e integral, mas a maior parte da galera não curtia

a turma quase toda reprovando e tals o_O

DevPunkDaSilva, não estou lembrado se foi sobre sua postagem ou outra que estava com várias imagens e um leitor deixou uma crítica porque percebeu que o texto estava muito carregado (quem lê as postagens do Tabnews em modo dark é um Sol na vista pela manhã! :) ). Ao ler a observação dele/dela em algum lugar no Tabnews, fui conferir o que já escrevi, percebendo então que poderia melhorar ocultando tudo aquilo que não fosse relevante. Aprendi um recurso markdown com o rafael num comentário que ele fez em uma postagem. Veja um exemplo sobre o que estou tratando, ao clicar na setinha preta a seguir.

Outro exemplo bem simples:

Parece útil, não? Bom, aqui deixo o código fonte markdown que usei. Tente copiar o bloco de texto destacado abaixo (botãozinho no canto superior direito) e colar numa postagem/resposta para experimentar.

<details>
    <summary>Aqui você escreve um texto de chamada...</summary>

Aqui você inclui o contéudo que gostaria de ocultar. Pode ser, por exemplo:

Um texto qualquer
    
> Uma citação _ipsis litteris_, por exemplo.

Um texto descrevendo a imagem gigantesca (imagine se fosse animada!)

![image](https://www.worldhistory.org/uploads/images/18023.png?v=1729152365-1697135717)
Fonte: [worldhistory.org](https://www.worldhistory.org/image/18023/the-scientific-revolution-in-europe)
    
</details>

E esse aqui é do segundo exemplo

<details>
    <summary>Não clique aqui!</summary>

Mais um curioso clicou aqui!

</details>

Essas tags podem ser um pouco chatas para aprender. Porém, com a prática você "pega" o jeito, respeitando as identações, linhas entre elementos, dominando-as. Tornam-se suas "amigas" para deixar o texto bem estruturado.

Acho que os exemplos que deixei são suficiente para começar. Essa dica pode te ajudar para esconder aqueles elementos que tiram a atenção do leitor ou interrompem a fluidez de leitura do texto, por exemplo, ao surgir uma imagem muito grande. Outra utilidade é remover elementos que não devem ir para a impressão se estiverem recolhidos.

Algumas correções importantes:

Embora a relação vaca, queijo e leite possa expressar de forma simples o conceito do teorema fundamental do cálculo, não é uma forma correta de se exemplificar. Por muito tempo os matemáticos se preocuparam em problemas de calcular áreas, como, por exemplo, Arquimedes, com a quadratura da parábola, futuramente a quadratura da hipérbole e vários outros métodos para obter áreas de superfícies. Esses métodos, em sua maioria eram de exaustão e não eram nem um pouco práticos. Mas enfim, o conceito de Derivada e Integral é puramente matemático:
Enquanto a derivada expressa a variação de uma quantidade, a integral expressa uma área.

Diferenciabilidade

O formalismo de Newton e Leibniz ainda era muito rudimentar, muito do desenvolvimento de ambos é completamente errônio nos dias de hoje e muito complicado. Newton, por exemplo, costumava expressar todas as funções como uma série de potência, pois julgava que sempre podia fazê-lo, contudo, não imaginava que essas séries poderiam ser divergentes, algo que invalida muitos dos seus resultados.

A forma com que, trabalhando em problemas completamente diferentes ambos chegaram aos mesmos resultados é algo realmente facinante e evidencia de como uma boa construção lógica da matemática pode levar a muitos avanços (algo ainda mais visível com os trabalhos de Hilbert, Dedekind e Couchy). Colocando a parte histórica um pouco de lado, diferenciabilidade significa o seguinte:

Uma dada função f, em um dado ponto a é dita diferenciável se, e somente se, f(x) = f(a) + (x-a)f(x) + r(x), onde r(x) tende a 0 muito mais rapidamente que x-a. O que isso tudo significa em termos matemáticos?

Perceba que, a menos da expressão r(x), o valor da função f em x é dado pela reta f(a) + (x+a)f'(x). Isso significa que, quando x está muito próximo de a, localmente a função se aproxima muito de uma reta. É aí que está o pulo do gato, quando x = a, f(x) = f(a), portanto, f(a) + (x+a)f'(x) é uma reta tangente a f(a). Ainda mais: quando x está muito próximo de a, podemos rearranjar a expressão para f(x) = [f(a)-af'(x)] + xf'(x), evidenciando aida mais que f'(x) é o coeficiente angular da reta, ou seja, quando x está próximo de a, f(x) varia f'(x). Como pode perceber, Newton e Leibniz estavam, na verdade, trabalhando no mesmo problema, mas com aplicações diferentes.

Teorema fundamental do cálculo

Primeiro precisamos de um bom conceito de integral, por isso vamos utilizar a integral de Riemann (a mesma que você aprendeu no cálculo 1).

Se f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} é diferenciável em [a,b] com f' integrável à Riemann em [a,b], então
\int_{a}^{b} f'(x) \,dx = f(b) - f(a)

prova:

Vamos expressar f(b) - f(a) = f(x_N) - f(x_{N-1}) + f(x_{N-1})-f(x_{N-2}) + ... + f(x_2)-f(x_1)+f(x_1)-f(x_0)

Assim, pelo Teorema do Valor Médio:

f(b) - f(a) = \sum_{j=1}^{N} f'(\xi_j)(x_j-x_{j-1})

E, pela definição da integral de Riemann:

f(b) - f(a) = \int_{a}^{b} f'(x) \,dx

O que Newton e Leibniz perceberam, foi exatamente essa relação, que é basicamente de operações inversas.

O maior impacto do cálculo

Simplesmente os objetos mais importantes da matemática moderna: equações diferenciais.