A.X = B
Vale lembrar que fiz isso apenas para fins de estudo, eu escrevo textos sobre determinados assuntos a fim de entende-lo, então talvez algumas informações estejam erradas, e se sintam a vontade para corrigir :P
O que significa a expressão A.X = B?
A equação A.X = B representa uma forma concisa e poderosa de expressar um sistema de equações lineares.
- A: É uma matriz de coeficientes. Cada elemento dessa matriz corresponde a um coeficiente de uma incógnita em uma das equações do sistema.
- X: É um vetor coluna que contém as incógnitas do sistema.
- B: É um vetor coluna que contém os termos independentes das equações.
Por que usar a forma matricial?
- Concisão: Permite representar sistemas de equações, por mais complexos que sejam, de forma compacta.
- Generalização: A teoria das matrizes nos fornece ferramentas poderosas para analisar e resolver sistemas lineares de forma geral.
- Aplicações: Essa forma é fundamental em diversas áreas, como engenharia, física, economia e ciência da computação, para modelar e resolver problemas que envolvem sistemas de equações lineares.
Quando usar sistemas de equações lineares?
Uma ótima maneira de encarar o problema é inventando um. Vamos supor uma situação hipotética:
Em um restaurante existem 3 mesas, e as 3 mesas pediram 3 itens iguals, porém em quantidades diferentes
mesa 1: 3 sushis, 7 refrigerantes e 1 torta, resultando em R$ 35,50
mesa 2: 4 sushis, 10 refrigerantes e 1 torta, resultando em R$ 49,00.
mesa 3: 1 sushi, 1 refrigerante e 2 tortas, resultando em R$ 10,50.
Mistério: Qual o valor únitário de cada item?
Como resolver?
Vamos utilizar a fórmula Eliminação Gaussiana A.X=B
Dimensão da matriz A
A dimensão da matriz A é dada é a quantidade de equações por quantidade de incógnitas, por exemplo:
Aₑₓᵢ
e = Número de equações da matriz A
i = Número de incógnitas da matriz A
Equações da matriz A
equação 1 = 3s + 7r + 1t = 35,50
equação 2 = 4s + 10r + 1t = 49
equação 3 = 1s + 1r + 2t = 10,50
Incógnitas da matriz A
s t r
Ou seja, 3 incógnitas
Logo a matriz A é uma matriz de ordem 3 por 3, ou seja:
A3x3
# Dimensão do vetor X
- o vetor x é um vetor coluna
O tamanho do vetor X depende do número de coisas que estamos procurando (as incógnitas). Se temos 3 incógnitas, precisamos de 3 espaços no vetor X para colocar as respostas. Por isso, se A tem 3 incógnitas, X será um vetor coluna com 3 posições.
Logo nosso x seria X3x1
Informações até agora
Com oque conseguimos, podemos definir que nosso calculo está da seguinte forma:
A_{3x3}.X_{3x1} = B
Forma de resolver quando matriz A é uma matriz QUADRADA
[!NOTE] Repare o seguinte
Quando multiplicamos a minha matriz A pela sua inversa, temos que multiplicar o vetor dos termos independentes pala matriz inversa também, para eu não perder a igualdade.
O objetivo ao multiplicar ambos os lados por A⁻¹:
- Isolar X: Nossa meta é encontrar o valor de X, ou seja, descobrir as incógnitas do sistema. Para isso, precisamos "desfazer" a multiplicação de A por X.
- A inversa é a operação inversa da multiplicação: Assim como a divisão "desfaz" a multiplicação em números, a multiplicação por A⁻¹ "desfaz" a multiplicação por A.
Por que a igualdade se mantém?
- Propriedade da igualdade: Se você realiza a mesma operação em ambos os lados de uma igualdade, a igualdade se mantém.
- Propriedade da matriz identidade: A multiplicação de uma matriz por sua inversa resulta na matriz identidade (I). A matriz identidade, quando multiplicada por qualquer matriz, resulta na própria matriz.
multiplicar a A e o termo independente B por A^{-1}, ficaríamos com o calculo
A^{-1}A_{3x3}X_{3x1} = A^{-1}B
I_{3x3}X_{3x1} = A^{-1}B
Um matriz indenidade I_{3x3}, vezes um vetor de incógnitas X_{3x1}, é ele próprio. Logo...
X_{3x1} = A^{-1}B
[!NOTE]
Essa forma só vai valer se a matriz A for uma matriz quadrada. Pois a matriz inversa só existe para matrizes quadradas.
Forma de resolver com QUALQUER dimensão de matriz a partir da Eliminação Gaussiana.
| s | r | t | B | |
|---|---|---|---|---|
| q1 | 3 | 7 | 1 | 35.5 |
| eq2 | 4 | 10 | 1 | 49 |
| eq3 | 1 | 1 | 2 | 10.5 |
Oque fazer com essa Matriz Ampliada?
Agora a ideia é escalonar esse sistema com operações elementares.
Oque é escalonar?
Escalonar uma matriz é como organizar um sistema de equações de forma mais simples, com o objetivo de encontrar a solução. A ideia é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde os elementos abaixo da diagonal principal são todos zero. Isso facilita muito a resolução do sistema.
Exemplo:
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| 0 | 6 | 7 | 8 |
| 0 | 0 | 1 | 12 |
Partindo da segunda linha, vamos zerar o primeiro elemento, e na próxima, zerar os dois primeiros.
| s | r | t | B | |
|---|---|---|---|---|
| eq1 | 3 | 7 | 1 | 35.5 |
| eq2 | 4 | 10 | 1 | 49 |
| eq3 | 1 | 1 | 2 | 10.5 |
Por que Zerar os Elementos Abaixo da Diagonal Principal?
- Simplificação: Ao zerar esses elementos, estamos eliminando uma incógnita de cada equação, tornando o sistema mais fácil de resolver.
Como Zerar um Elemento?
Para zerar um elemento, você precisa realizar operações entre as linhas da matriz. Essas operações podem ser:
- Multiplicar uma linha por um número: Isso equivale a multiplicar toda a equação correspondente por esse número.
- Somar ou subtrair uma linha de outra: Isso equivale a somar ou subtrair as equações correspondentes membro a membro.
Como podemos transformar isso com operações elementares?
Multiplicar a primeira linha por 4: Isso resultará em 12 na primeira posição da primeira linha.
Multiplicar a segunda linha por 3: Isso resultará em 12 na primeira opção da segunda linha.
Fazer a subtração dos resultados das linhas: Isso resultara em 0 na primeira opção da segunda linha.
4 se torne zero.
L_2 = 3L_2 - 4L_1
3L_2 = (12, 30, 3, 147)
4L_2 = (12, 28, 4, 142)
L_2 = (0, 2, -1, 5)
Tabela coma linha 2 atualizada:
| s | r | t | B |
|---|---|---|---|
| 3 | 7 | 1 | 35,5 |
| 0 | 2 | -1 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 10,5 |
Agora precisamos que os dois primeiros itens da primeira linha sejam iguais a 0.
Agora preciso que o primeiro item da ultima linha seja 0. Não posso usar uma linha que contenha um elemento nulo
L_3 => L_1 - 3L_3
L_1 = (3, 7, 1, 35.5)
L_3 = (3, 3,6, 31.5)
L_3 => (0, 4, -5, 4)
Tabela com a linha 3 atualizada:
| s | r | t | B |
|---|---|---|---|
| 3 | 7 | 1 | 35,5 |
| 0 | 2 | -1 | 5 |
| 0 | 4 | -5 | 4 |
Para que o segundo elemento da linha 3 seja 0, podemos fazer:
L_3 => L_3 - 2L_2
L_3 = (0, 4, -5, 4)
2L_2 = (0, 4, -2, 10)
L_3 => L_3 - 2L_2 = (0,0,-3, -6)
Agora com a terceira linha atualizada:
| s | r | t | B |
|---|---|---|---|
| 3 | 7 | 1 | 35,5 |
| 0 | 2 | -1 | 5 |
| 0 | 0 | -3 | -6 |
Objetivo concluído
Ao escalona nossa matriz ampliada, temos uma matriz equivalente ao nosso sistema inicial
equação 1 = { 3s + 7r + 1t = 35,50
equação 2 = { 4s + 10r + 1t = 49
equação 3 = { 1s + 1s + 2t = 10,50
Com a nossa matriz, podemos fazer um novo sistema utilizando seus itens:
equação 1 = {3s + 7r + 1t = 35.5
equação 2 = {0 + 2r - 1t = 5
equação 3 = {0 + 0 - 3t = -6
Agora podemos resolver a equação inicial, baseada na nossa equação equivalente, partindo da que contém menos incógnitas.
Vamos resolver a equação 3:
-3t = -6
t = -6 /-3
t = 2
Agora que temos o valor de t, podemos resolver a equação 2:
2r - 2 = 5 2r = 2+5
2r = 7 r = 7/2
r=3,5
Agora que temos os valores de t e r podemos resolver a equação 1:
3s + 7s + 1t = 35.5 3s + 7(3.5) + 2 = 35.5
3s + 24.5 + 2 = 35.5 3s = 35.5 - 26.5
3s = 9 s = 9/3
s = 3
Logo, nosso vetor solução é:
X = [s, r, t]
X = [3, 3.5, 2]