Eu gosto muito da analogia do restaurante, onde o Front-end seria o salão e tudo o que o cliente vê, a cozinha seria o back-end e onde todo o processamento dos pedidos dos clientes acontecem, e a API seriam os garçons e garçonetes, que levariam os pedidos e requisições dos clientes para a cozinha.

Logo, os garçons e garçonetes (API) são quem permitem a comunicação do cliente (Client) com a cozinha (Servidor)

Apesar de o termo API ser muito mais complexo que somente isso, é uma analogia que costuma funcionar bem para pessoas não técnicas ou que estão iniciando agora na tecnologia.

A partir desse entendimento é possível entrar em termos mais técnicos, mas ter coisas do "cotidiano" como um restaurante facilita bastante esse entendimento inicial e facilita mostrar onde cada especificidade entraria.