Laravel exige uma configuração um pouco mais chatinha de Nginx, aqui está o tutorial de como fazer, mas uso apache também por me atender bem. No caso você não precisava desinstalar, era só desabilitar com o comando sudo systemctl disable nginx, mas ok.

Ao invés de fazer

Route::post('/shorten', [App\Http\Controllers\ShortLinkController::class, 'store'])->name('shorten');
Route::get('{shortCode}', [App\Http\Controllers\ShortLinkController::class, 'show'])->name('shortlink.show');

Você pode simplismente agrupar as rotas que usam o mesmo controller, assim:

Route::controller(ShortLinkController::class)->group(function(){
    Route::post('/shorten', 'store')->name('shorten');
    Route::get('{shortCode}', 'show')->name('shortlink.show');
});

Dá pra melhorar ainda mais com resource controller e route model binding...