Boa noite!
Sem muitos detalhes sobre o seu código e a sua arquitetura fica um pouco difícil de ajudar com precisão...

Mas vão aí algumas dicas:

• Entenda o que é websocket, e a diferença entre ele e uma requisição comum feita por http.
• Antes de partir para uma biblioteca, tente implementar na mão a sua ideia. Entender o que está acontecendo por baixo dos panos é sempre uma boa ideia.
• Se algum conceito está complicado, pergunte ao chatGPT como tal coisa funciona, e peça para ele te dar exemplos. Depois, peça para ele te dar um exemplo de código feito sem bibliotecas.

E respondendo suas últimas dúvidas: Sim! É possível colocar um chat no ar, e é possível fazer isso de várias formas. Se você quer criar algo público, que possa ser acessado por outras pessoas em suas casas, você precisará correr atrás de um domínio (Ex.: meuchat.com.br) e um serviço de hospedagem. Depois, precisará de um servidor para fazer seu backend rodar. Existem alguns gratuitos que você pode aproveitar, como o GitHub Pages, o Heroku e o Netlify.