Dependendo da sua aplicação voce pode usar um VPS, tem muitos hosts gringos que oferece um bom serviço por um preço muito acessível.

Ou dependendo do caso, como o uso de recurso (cpu/ram/bandwidth) é extremamente baixo você consegue usar alguma camada gratuita de serviços de algum provedor.

Isso vai te dar muito mais disponibilidade, rotas de conexão bem melhores, etc

Se mesmo assim você quiser colocar em casa pra rodar, um raspberry pi iria suprir tranquilo sua necessidade... (em caso de falta de energia, um nobreak qualquer iria segurar ele por MUITAS horas kkkkk) (Obs: O valor de um raspberry pi pagaria alguns anos de uma VPS lowend :P)