Odeio esse termo. Concordo com o user1 (não na conclusão, apenas sobre o termo). Até acho que o termo ajuda comunicar, mas em alguns casos prejudica.
Mas já que as pessoas usam, ele pode ou não ser. Assim como no desktop ou outras atividades que envolvam pelo menos duas partes separadas de desenvolvimento. Em geral, em mobile é comum que tenha duas partes, mas tem casos que não tem. Se tiver duas, tem quem faça as duas e tem quem só faça uma.
Um dos problemas do termo é que full a pessoa nunca é. Então se ela é full só em certo critério, ela não é full. Eu entendo que inventaram esse termo de forma muita específica querendo dizer que ela faz front e backend, mas para ser full de verdade ela tem que fazer tudo da computação. É mais um termo mal pensado e lançado pelo mercado. Mas eu aceito porque não adianta dar murro em ponta de prego.
Até onde eu sei não existe uma definição clara do que o termo é, existem algumas pessoas que usam algo que é mais ou menos bem aceito por quase todos. Excetos os chatos. Quem? Eu?
Eu achei a definição do OP bem confusa. Especialmente na questão de aplicação que usa sites. Isso ainda é um modelo de front e backend. Se você está consumindo um backend pronto e nem tem acesso a ele, certamente você só está fazendo o frontend, mas o backend existe e você não é full stack.
Outra questão é sobre você ser full se tiver só o frontend. Não! Eu acho que não cabe mudar a definição do termo porque mudou o modelo. Um jogo que roda isolado (sem comunicar com servidor*) não foi feito por um full stack, foi feito por um front end developer.
Ah, você acha que frontend não cabe aí? Que é coisa de web. Aí eu vou "brigar". Isso está muito errado.
Um compilador tem frontend e backend? Tem quem questione e fale que é um pouco diferente, mas muita gente considera que tem. E claro que o frontend não é visual, é a parte que lida com a linguagem fonte, em oposição do backend que cuida da linguagem alvo. Em geral que cuida de uma parte não cuida da outra, ambas são trabalhosas e exigem expertise bem diferente do que web. Embora em compiladores ambas exigem muito domínio da computação e web aceita dar uma enganada e só apresentar qualquer resultado.
Se você falar que uma aplicação que tem duas partes, uma delas é visual e outra as regras de negócio e persistência, mas está tudo como uma coisa só, monolítico ou que seja um macarrão só, e isto é uma aplicação full, eu posso até concordar. Não tenho certeza. Eu preciso de definições mais fortes e canônicas sobre isso. Não acho que tenha. Mesmo se for em uma fonte (que tende ser) canônica, como a Wikipedia (não ach oque seja um bom artigo por várias razões, há entendimento bastante equivocado e não tem boas referências para sustentar o que está escrito lá), pode ser que ache lá só informações coletadas do mercado de forma desorganizada. Tem vários verbetes assim lá, por isso ela é boa, mas não 100% confiável (além de ser rasa, ser só uma porta de entrada para um assunto). Um pouco melhor.
Vemos algumas pessoas intercambiando frontend com client-side e backend com server-side. Não acho que deveria, acho que tem diferenças, mas em alguns contextos podem ser quase sinônimos.
Se alguém disser que tudo isso está errado, eu concordo, desde que tenha argumentos. Porque é dessas coisas que foram inventadas sem muito estudo e formalismo.
Gostava mais quando as pessoas eram desenvolvedoras, eventualmente mais dedicadas a uma coisa ou outra.
De maneira geral não gosto e não me dou bem (qual é causa ou consequência?) com frontend. E é a parte que mais pode satifazer ou atrapalhar o usuário, ainda que o backend falho pode dificultar o front entregar bem. O que mais gosto de fazer não é bem nem um, nem outro, prefiro coisas mais gerais, que se parece um pouco com backend (não web), então...
Faz sentido para você?
Espero ter ajudado. Em geral estou à disposição na plataforma (sem abusos :D)
Farei algo que muitos pedem para aprender a programar corretamente, gratuitamente. Para saber quando, me segue nas suas plataformas preferidas. Quase não as uso, não terá infindas notificações (links aqui).