O ideal seria fazer um backup dos arquivos e do banco de dados atual. Não parece que o godaddy ajuda nisso de graça.

Se você tiver acesso ao painel do godaddy procure as informacões para acesso FTP e as informações de acesso ao banco de dados.

Com acesso ao banco de dados seja utilizando phpmyadmin ou algum cliente sql você conseguiria exportar um arquivo com todo o esquema e dados gravados.

Ja com as informações do FTP você conseguiria conectar no servidor, baixar os arquivos que estão lá atualmente para backup e enviar os seus arquivos do site novo.