Só pra reforçar e complementar o que já disseram, não é o computador que usa o caractere \0 para terminar strings. Isso é uma convenção do C. Outras linguagens podem ou não fazer da mesma forma.

E mesmo que o \0 não conte para determinar o tamanho da string, ainda sim você sempre deve reservar um espaço para ele no final. Ele é o terminador de string, por isso sempre deve fazer parte dela.

Então se for para setar os caracteres um a um, o primeiro exemplo deveria ter feito assim:

char string[3];
string[0] = 'O';
string[1] = 'i';
string[2] = '\0';

Tem que reservar um espaço para o \0, senão não é string.

Mas como é um texto fixo, é mais simples inicializar diretamente com o texto todo de uma vez (como já indicado em outro comentário), pois aí o \0 já é adicionado automaticamente:

// assim o \0 é adicionado automaticamente no final
char string[] = "Oi";

Enfim, se não tiver o \0, pode até "funcionar" em alguns casos por sorte ou coincidência, mas não espere que vá funcionar sempre. Pode parecer um detalhe besta, mas não é: muitas funções (senão todas) da biblioteca padrão que manipulam strings esperam que tenha o \0 no final, e muitas podem ter comportamento indefinido se vc passar uma que não tenha, podendo inclusive causar falhas graves no programa.

Não sei se a intenção foi simplificar de propósito para facilitar o entendimento, mas de qualquer forma fica o alerta.

Por fim, como curiosidade, o código também poderia ser:

char *string = "Oi"; // o \0 é adicionado automaticamente no final
while (*string != '\0')
    putchar(*string++ + 1);

A diferença é que agora a string será readonly, mas como o código não a modifica, então tudo bem (se precisasse modificar, aí teria que trocar para char string[]).

E no loop, basta ir incrementando o ponteiro (que passará a apontar para o caractere seguinte), até chegar no \0.