Eu já escrevi antes sobre isso, mas acho que não custa lembrar:

Um detalhe importante (principalmente para iniciantes): API não é só WEB.

Sei que hoje em dia "API" acabou virando quase que um sinônimo de "URL que retorna um JSON", mas o termo é bem mais amplo que isso (e a ideia geral, inclusive, antecede a web). Também sei que o post acima está focando mais nesse tipo específico (API Web), e isso nem é uma crítica a ele, é só porque eu sou chato mesmo :-)

API é a sigla para "Application Programming Interface" (algo como "Interface de Programação de Aplicações"), que é basicamente "algo" que permite que dois programas/softwares/sistemas/aplicativos "conversem" entre si (a grosso modo, eles trocam informações de forma programática). O detalhe é que esses programas não precisam estar na web.

Por exemplo, os sistemas operacionais costumam disponibilizar API's (uma série de funções) para que outros programas possam acessar seus recursos e serviços. Daí temos, só para citar dois exemplos, a Linux Kernel API e a Windows API. Ambos servem para que outros programas acessem recursos do sistema operacional (por exemplo, para criar uma janela com botões e texto, chame as funções do sistema em vez de você mesmo desenhar cada pixel na mão). As API's do iOS e Android são similares, pois permitem que aplicativos acessem recursos do celular (câmera, sensores de movimento, etc) de forma programática: o seu aplicativo vai ter algum código que acessa esses recursos, e isso é feito através da API (classes/funções) de cada sistema.

Aliás, já parou pra pensar que Application Programming Interface é um termo genérico, e que não tem nenhuma menção específica ao HTTP? Isso porque o termo é mais amplo que isso (e mais antigo que a própria web). Novamente, sei que hoje em dia o termo API passou a ser muito (ou somente) usado no contexto web, mas acho que vale mencionar que ele não é só isso.

Enfim, sugiro seguir o link já citado para ler o texto completo (que é longo e acho que não faz sentido eu só copiar tudo de novo aqui), além do outro comentário que complementa muito bem a questão.