Fala fera, não sou "o cara" pra te ajudar com isso... mas aqui vai meus dois centavos de contribuição pra te ajudar no rolê:

Talvez vc esteja acessando as propriedades "nome" e "idade" do seu objeto "user" como se fosse uma variável global... mas será q é mesmo?

De repente, armazenar a instância criada da função "user" em uma variável e acessar as propriedades através dela pode ser uma boa.

Além disso, seria legal colocar o "onload" pra rodar no código, de modo que seu script garanta que as operações de acesso ao DOM sejam executadas só depois que a página foi carregada, pra evitar dor de kbça. Dá uma olhada, testa e manda aqui o "fii de beck"

        let usuario;
        function init(){
            let name = prompt('Qual seu nome?')
            let age = prompt('Qual sua idade?')

            usuario = new user(name, age);
        }
        var user = function(name, age){
            this.nome = name,
            this.idade = age
        }
        init();
        window.onload = function(){
            let n = document.getElementById('nome')
            let a = document.getElementById('age')
            n.innerText = usuario.nome
            a.innerText = usuario.idade
        }