Podem ajudar com essa lógica!?

Você apenas não está salvando essa Array :). Então cada vez que a função roda ela gera uma nova array e faz apenas uma alteração.

Para resolver isso você pode ter uma abordagem muito simples, que seria passar a array como parâmetro da função, ou para manter funcionando da mesma forma, utilizar uma closure ou classe para salvar o estado da array.

Como já disseram, o problema é que dentro da função vc está recriando o array novamente. Então o certo é criar o array fora e passá-lo como argumento da função.

Mas tem outros detalhes para se pensar. Por exemplo, map sempre retorna um novo array, então só seria interessante criar outro array se vc precisasse preservar o original. Vc precisa manter o array original, ou só precisa do resultado final, com os números setados com active: true?

Se não precisa preservar o array original, é desnecessário usar map e ficar criando um novo array a cada número setado. Neste caso, a função poderia simplesmente alterar o array:

function sorteiaNumero(numberArray: {value: number, active: boolean}[], activeNumber: number) {
    for (const item of numberArray) {
        if (item.value === activeNumber) {
            item.active = true;
            break;
        }
    }
}

// outra forma de criar o array
let numberArray = [];
for (let i = 1; i <= 60; i++) {
    numberArray.push({ value: i, active: false });
}

sorteiaNumero(numberArray, 10);
sorteiaNumero(numberArray, 14);
console.log(numberArray); // 10 e 14 setados

Vi no GitHub que vc está criando um array com os números de 1 a 60 (que é diferente do exemplo que vc colocou acima, que coloca de 0 a 59). Enfim, sugeri acima uma outra forma de criá-lo, usando um for simples.

E como os números do array não se repetem, só preciso seguir no loop até encontrar o número. Depois, posso interromper o for usando um break (se os números se repetissem, aí teria que tirar o break).

Também mudei o nome do parâmetro: em vez de numbers, usei activeNumber. Pode parecer um detalhe besta, mas dar nomes melhores ajuda na hora de programar. O nome numbers está no plural, e passa a ideia - neste caso, errada - de são vários números. Mas pelo que entendi, é um só, então mudei para um nome no singular e que tenha mais a ver com o que ele representa.

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Um detalhe: neste caso específico vc sabe que o array tem números de 1 a 60 em ordem. Ou seja, o número 1 está na posição 0, o número 2 está na posição 1 e assim por diante. Então a função poderia ser apenas:

function sorteiaNumero(numberArray: {value: number, active: boolean}[], activeNumber: number) {
    numberArray[activeNumber - 1].active = true;
}

Mas como eu já disse, é apenas para este caso específico, e só se vc garantir que sempre vai chamar a função passando um número entre 1 e 60. Para os casos mais genéricos, um loop é o mais indicado.

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Complementando, dei uma olhada rápida pelo código do GitHub, e talvez essa complicação toda seja desnecessária. Nem tudo precisa de async/await. Por exemplo, sua função generateUniqueNumbers, não faz o menor sentido ela retornar uma Promise, já que não faz nenhuma operação assíncrona que necessita de espera. Bastaria que ela retornasse o array diretamente:

function generateUniqueNumbers(): Number[] {
    const numeros: Number[] = [];
    for (let i = 1; i <= 60; i++) {
        numeros.push(i);
    }
    // Embaralha os números
    for (let i = numeros.length - 1; i > 0; i--) {
        const j = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
        [numeros[i], numeros[j]] = [numeros[j], numeros[i]];
    }
    // Retorna os primeiros 5 números do array
    // não precisa de variáveis intermediárias, pode retornar direto
    return numeros.slice(0, 6).sort((a: number, b: number) => a - b);
}

Vi que na função FN_GET_NUMBER_GAME() vc transforma o array em string, só para passá-lo para insertValueTableGame. Mas depois vc transforma esta string novamente em array, usando split. Esse trabalho todo é desnecessário.

O que eu faria: remova essa função FN_GET_NUMBER_GAME(), e use diretamente a que gera os números. E vc converte para string somente na hora de salvar:

const NEW_NAMBER_GAME = generateUniqueNumbers(); // nada de async/await, é desnecessário
...
const GAMER = await insertValueTableGame(NEW_NAMBER_GAME.toString(), LAST_NAMBER_INSERTED_TABLE_GAME);

E claro, arrume esses nomes. NAMBER está errado (é "U" em vez de "A"), mas acho que o nome atual também não é bom, pois não passa a ideia de que é o array de números. Poderia ser UNIQUE_NUMBERS ou algo assim. Na verdade, não sei porque adotou esse padrão de tudo em maiúsculas, mas enfim. Agora que esta variável contém o array, pode usá-la no restante do programa, no lugar de TRANSFORME_STRING_TO_ARRAY (outro péssimo nome, aliás).

Enfim, não parei pra ver todo o código, mas não entendi porque sorteiaNumeros precisa retornar outra função. Parece que tem várias complicações desnecessárias aí.