A primeira vez que vislumbrei a utilidade do módulo na programação foi realizando um dos primeiros exercícios do curso CS50 (esse), onde era preciso criar um código em C para verificar a autenticidade de números de cartões de crédito. Nesse caso, serviu para obter dígitos específicos na sequência númerica do cartão, a grosso modo determinando o caractere no array com base em sua posição, obtida com o módulo do número (lembrando um pouco o que o @kht trouxe). Um exercício bem simples, mas que abriu minha cabeça para algumas possibilidades de código e do uso da matemática tanto para realizar tarefas simples (lembrando que sou bem iniciante).
Sempre me enquadrei no estereótipo da "pessoa ruim em matemática", mas desde que comecei a estudar programação ela tem me facinado cada vez mais. Acho incrível o poder que ela "libera" (como disse o amigo @obrunoanastacio), principalmente quando aplicada à performance de código.
Obrigado por compartilhar seus conhecimentos!