Hoje existem vários serviços que oferecem todo o fluxo de autenticação pra vc.
Ory, Auth0, NextAuth são alguns exemplos, e eles tem um free tier bom pra vc usar, já que vc disse que é pra treino.

Agora se vc quiser fazer na mão, é um processo um pouco mais complexo que envolve mais passos do que só bater no banco e verificar se o email e senha batem.

Pelo o que vc tá fazendo seu foco é frontend, então te recomendo utilizar algum desses serviços prontos, já que num projeto real muito dificilmente vai ser vc quem faz esse processo.

Existe uma forma de deixar o banco de dados ligado em algum servidor gratuitamente

Também te recomendo usar algum DBaaS pra isso... MongoDB Atlas, PlanetScale, Neon, Supabase... qualquer um desses te entrega o que tu precisa