Eu não entendi muito bem o que tu quer fazer, mas pelo que eu entendi tu pode usar o https://wa.me pra isso.
Usando o link: https://wa.me/55XXXXXXXXXXX?text=<text>
Sendo <text>, a mensagem que tu quer enviar.
Daí então tu pode redirecionar pra esse link.

Primeiro tu vai precisar adicionar tabs nas tuas permissões do teu manifest.json:

{
  ...
  "permissions": [
    "tabs"
  ],
  ...
}

Não tenho certeza se tu vai precisar da permissão activeTab também, se der algum erro relacionado a permissão, só adicionar ela.

Depois disso tu pode usar o método chrome.tabs.update para atualizar a página e redirecinoar pra url.

chrome.tabs.update(
    // Se eu não me engano tu pode passar `undefined` pra usar a aba atual
    <tab-id>,
    {
        // Aqui tu coloca a url pra ser redirecionado
        url: 'https://wa.me/55XXXXXXXXXXX?text=<text>'
    },
    // Callback opcional
    (tab) => { console.log(tab) }
)

Isso é o que eu consegui pensar, se der algum problema, só comentar aqui que vou tentar ajudar.