Usar o GIT não só faz sentido como é ESSENCIAL ao meu ver por alguns motivos:

Segurança

Com o GIT (e GitHub) propriamente configurado, você consegue proteger um branch principal de forma que só o administrador pode autorizar uma modificação nele, seja um merge, seja um push comum, seja um forced push (o mais perigoso de todos, pois permite reescrever a história)

Histórico

Um repositório git bem utilizado, com títulos de commit bem padronizados (veja sobre Conventional Commits) permite criar um histórico do seu codigo que tem inúmeras utilidades, como por exemplo descobrir quem fez determinada alteração, quando e porquê. Ou até mesmo permite alguem entender toda a trajetoria daquele projeto, e estudar só pela leitura dos commits.

Colaboração

Um dos pontos mais fortes do git, é a colaboração. Você pode ter duas pessoas alterando o mesmo codigo, a mesma linha.

Em equipes pequenas, ou codigos pouco alterados, não é uma vantagem tão grande, mas se você tem duas ou três pessoas trabalhando ativamente no projeto, é indispensável (lidar com isso manualmente é tipo: "ei, salva o arquivo X pra eu alterar aqui!")

Enfim, há inúmeras vantagens, seja codigo aberto ou não. E que fique claro, o GitHub não é a mesma coisa que git. GitHub é um serviço, assim como o GitLab e outros. Você consegue usar o git sem um serviço como o GitHub, mas é extremamente recomendável principalmente para iniciantes.

Não se acanhe em insistir isso com seu chefe, um dia ele vai te agradecer.