Vamos lá, apesar de existir diversas definições e formas de interpretar o "Desenvolvedor FullStack".

Para mim, ser FullStack esta ligado diretamente a habilidade de se adptar ao projeto como um todo, com o objetivo de resolver um problema. Isso idependente das tecnologias utilizadas no projeto.

Ser FullStack é ter a capacidade de se adptar tanto técnicamente como no entendimento do projeto em geral (Regras de negócio, particularidades do projeto, etc).

Conhecer o negócio e o projeto para trazer soluções como um todo, sendo com tecnologias já envolvidas no projeto ou com novas tecnologias. Desde que consiga resolver os problemas e necessidades reportados pelos clientes (internos ou o cliente final).

Não vejo de uma forma limitada, como ter conhecimentos de Front/Back/DataBase, mas sim sobre conhecer os principais conceitos envolvido no ecosistema do projeto.
Pois tendo o conhecimento do projeto e dos conceitos envolvidos, as tecnologias podem variar e vai caber a você como um "FullStack" correr atrás e ir adaptando-se com tecnolocias do projeto (se aprofundando nas particularidades da Stack do projeto).

Agora voltando a falar de "carreira", acho que antes de qualquer coisa é importante você se sentir confortável trabalhando com qualquer projeto, isso porque cada projeto tem tecnologias diferentes e você vai precisar saber lidar com elas no contexto do projeto.
Mesmo que tenha atuado em pequenos projetos com a tecnologia X ou Y, sinaliza isso de alguma forma no seu cv ou LinkedIn e sempre destaque as tecnologias que tem mais afinidade e as quais esta trabalhando atuamente.

No final, idependente de qualquer coisa e tecnologia o que vai valer é se resolveu ou não a necessidade do projeto.

Abraços,