O programador é o profissional que resolve problemas por meio de lógica de programação. Vai por mim, toda empresa tem problemas e boa parte deles podem ser resolvidos por meio de soluções de software.

Hoje eu auto como dev backend em um banco grande então nosso trabalho é manter o funcionamento dos sistemas internos. Mas programação envolve várias coisas como automatizar tarefas repetitivas, padronizar input de dados em sistemas, compilar e processar dados para BI, desenvolvimento de integrações com sistemas de terceiros, sysadmin de sistemas proprietários e por ai vai.

Edit: E no seu exemplo do site mesmo. Será mesmo que o trabalho está pronto? ou será que ele vai querer uma página a mais? quem vai atualizar os conteúdos dele? quem vai cuidar de onde esse site está hospedado? e por ai vai. Sempre tem espaço pra melhorias em soluções de software.
O ramo é muito amplo e as empresas de pequeno e médio porte estão muito carentes de informatização ainda.

Desejo sucesso nessa caminhada e entenda que onde quer que vocês esteja, você será um resolvedor de problemas.