Assim como o OP, nunca cheguei a utilizar o BitBucket ou até o GitLab, sempre fiquei no GitHub pela comodidade (afinal, aprendi git usando o GitHub).

Mas ao pesquisar sobre o assunto, cheguei a conclusão que tanto faz a que você escolher. Cada umas das opções: BitBucket, GitHub ou GitLab tem suas vantagens e desvantagens. Mas no fim do dia, todas utilizam o Git, e é isso o que você realmente vai usar.