Uma boa opção é usar a mensagem de comunicação de extensão para passar a informação da variável do background.js para o popup. Para fazer isso, você pode usar os métodos chrome.runtime.sendMessage e chrome.runtime.onMessage para enviar e receber mensagens, respectivamente. Aqui está um exemplo de como você pode fazer isso:

// No background.js:
chrome.runtime.onMessage.addListener(function(request, sender, sendResponse) {
  if (request.type === 'getMyVariable') {
    sendResponse({ myVariable: myVariable });
  }
});

// No popup:
chrome.runtime.sendMessage({ type: 'getMyVariable' }, function(response) {
  var myVariable = response.myVariable;
});