Se eu entendi o post corretamente você tem uma estrutura assim:

Teste/
  -- Backend
    -- {content}
  -- Frontend
    -- {content}

e precisa iniciar ambos manualmente.

Provavelmente a hospedagem espera que quando rode npm run start o script de start inicialize ambas as dependencias juntas tanto do express quanto do react.

Supondo que esteja tudo corretamente construído, e você tenha um inicializador próprio para cada componente. Porque não criar tipo um arquivo start.js que seria o inicializador.

Dessa forma, você passaria o caminho para ambas as funções de inicialização de forma que ambas iniciem juntas.

const { spawn } = require('child_process');

function startProcess(name, command, args) {
    const process = spawn(command, args, { stdio: 'inherit', shell: true });
    
    process.on('close', code => {
        console.log(`${name} process exited with code ${code}`);
    });
    
    process.on('error', err => {
        console.error(`Failed to start ${name} process:`, err);
    });
}

startProcess('Backend', 'npm', ['run', 'start', '--prefix', 'backend']);

startProcess('Frontend', 'npm', ['start', '--prefix', 'frontend']);

provavelmente você poderia querer adicionar de forma que cada instancia suba com em um processo diferente.

No meu caso, eu recomendaria fortemente o uso de Docker ou Podman, mas como é apenas um teste simples usar esse script de inicialização deve funcionar