Primeiro eu fiz algumas alterações no código, achei melhor criar a estrutura do objeto com uma classe já que ela é feita pra isso, a pesar de JS aceitar basicamente tudo como função.

Movi pra dentro da função init a comunicação com a DOM, instanciei a variavel usuario fora, caso você precise utilizar ela em outras partes o projeto.

    <script>
        let n = document.getElementById('nome');
        let a = document.getElementById('age');
        let usuario;
       
        function init() {
            let name = prompt('Qual seu nome?')
            let age = prompt('Qual sua idade?')

            usuario = new User(name, age);
            n.innerText = usuario.name
            a.innerText = usuario.age

        }

        class User{
            constructor(name, age){
                this.name = name;
                this.age = age;
            }
        }

        init();
    </script>