Olá Wndell, se você precisa somente enviar os dados do formulário para o email do cliente eu recomendo o serviço SMTP2GO (link: https://www.smtp2go.com/). O SMTP2GO fornece uma API que faz o disparo de email e você consegue chamar essa API com Ajax, Fetch ou XMLHttpRequest.

Segue um exemplo encontrado no site, para o disparo feito com Ajax

$.ajax({
  url: "https://api.smtp2go.com/v3/email/send",
  method: 'POST',
  headers: { 'Content-Type': "application/json" },
  data: JSON.stringify({
    'api_key': "api-526EA362E1E6AAD9F23C91C88F4E",
    'to': [
      "Dave <[email protected]>"
    ],
    'sender': "Matt <[email protected]>",
    'subject': "Testing smtp2go!",
    'text_body': "Test message."
    }),
  })
.done(function(result) { console.log(result); })
.fail(function(err) { throw err; });

EDIT: Para deixar claro, esse código funcionar no browser e você não precisaria de um servidor para fazer o disparo do Email.