Tirei essa prova de um livro de Cálculo que estou lendo, quis salvá-la no meu blog e achei válido trazer pra cá também pra exercitar o pensamento matemático da galera.

Definições

Primeiro recordamos que números pares são os inteiros \pm2, \pm4, \pm6, \pm8,..., que podem ser escritos na forma 2n para algum inteiro n. Um número ímpar é um inteiro como \pm1, \pm3, \pm5, \pm7,..., que pode ser escrito na forma 2n+1 para algum inteiro n. Então 6=2\cdot3 é par (escolhemos n=3) e 11=2\cdot5+1 é ímpar (escolhemos n=5).

Observamos que o quadrado de um número par é par. Com efeito, se n é um inteiro e 2n é um número par, então

é um número par, que pode ser escrito 2(2n²), o produto de 2 pelo inteiro 2n².

O quadrado de um número ímpar é ímpar. Para provar isso, seja 2n+1 um número ímpar (n sendo um inteiro). Então seu quadrado é

Como 2n²+2n é um inteiro, obtivemos o quadrado de nosso número ímpar na forma 2m+1 para algum inteiro m, e então mostramos que seu quadrado é ímpar.

Prova

Estamos agora prontos para provar que a raiz quadrada de 2 não é um número racional. Suponhamos que seja. Isso significa que podemos achar um número racional a, tal que a²=2. Podemos escrever

onde m,n são inteiros, e nem m nem n é 0. Além disso, podemos supor m, n não simultaneamente pares porque, dividindo-os por 2 quanto possível, podemos cancelar as potências de 2 de pelo menos um deles. Assim, podemos admitir que m ou n é ímpar.

Da hipótese de que a²=2 obtemos (m/n)^2=2, ou

Multiplicando ambos os membros desta equação por n² obtemos

e m² é então par. Pelo que vimos acima, isto significa que m é par e podemos escrever m=2k para algum inteiro k. Substituindo, obtemos

ou 4k²=2n^2. Cancelamos o 2 e obtemos 2k²=n². Isto significa que n² é par e, consequentemente, pelo que vimos acima, que n é par. Concluímos assim que m e n são pares, o que contradiz o fato de que pelo menos um deles é ímpar. Podemos então concluir que não existe nenhuma fração m/n cujo quadrado seja 2.